PP vẽ thêm đường phụ

by mm 27/6/2010, 22:53

Bµi to¸n 4: Tam gi¸c ABC cã ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh ba gãc b»ng nhau.

Chøng minh r»ng D ABC lµ tam gi¸c vu«ng vµ D ABM lµ tam gi¸c ®Òu?

1) Ph©n tÝch bµi to¸n:

Bµi cho D ABC cã ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh ba gãc b»ng nhau. Yªu cÇu ta chøng minh D ABC lµ tam gi¸c vu«ng vµ D ABM lµ tam gi¸c ®Òu.

2)Híng suy nghÜ:

Muèn chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A ta cÇn kÎ thªm ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AC vµ chøng minh ®êng th¼ng ®ã song song víi AB, tõ ®ã suy suy ra AB ^ AC vµ suy ra A = 90⁰.[size=21]3) Chøng minh:

GT	D ABC; AH ^BC; trung tuyÕn AM;
KL	D ABC vu«ng ; D ABM ®Òu

VÏ MI ^ AC ( I Î AC)

XÐt D MAI vµ D MAH cã:

· ( gt)

· AM lµ c¹nh chung) Þ D MAI = D MAH ( c¹nh huyÒn – gãc nhän)

· (gt) Þ MI = MH ( 2 c¹nh t¬ng øng) (1)

XÐt D ABH vµ D AMH cã:

· ( gt)

· AH lµ c¹nh chung Þ D ABHI = D AMH ( g – c - g)

· ( gt) Þ BH = MH ( 2 c¹nh t¬ng øng) (2)

MÆt kh¸c: H Î BM , Tõ (1) vµ (2) Þ

XÐt D vu«ng MIC cã: nªn tõ ®ã suy ra: HAC = 60⁰ .

Þ .

VËy D ABC vu«ng t¹i A.

V× ;

L¹i cã AM = ( tÝnh chÊt trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn trong tam gi¸c vu«ng)

D ABM c©n vµ cã 1 gãc b»ng 60⁰ nªn nã lµ tam gi¸c ®Òu.

4) NhËn xÐt:

Trong bµi to¸n trªn nÕu chØ cã c¸c yÕu tè bµi ra th× tëng chõng nh rÊt khã gi¶i, tuy nhiªn, chØ b»ng mét ®êng vÏ thªm ( MI ^ AC) th× bµi to¸n l¹i trë lªn rÊt dÔ dµng, qua ®ã cµng thÊy râ vai trß cña viÖc vÏ thªm yÕu tè phô trong gi¶i to¸n h×nh häc.

C¸ch 6: Ph¬ng ph¸p “ tam gi¸c ®Òu”

§©y lµ mét ph¬ng ph¸p rÊt ®Æc biÖt, néi dung cña nã lµ t¹o thªm ®îc vµo trong h×nh vÏ c¸c c¹nh b»ng nhau, c¸c gãc b»ng nhau gióp cho viÖc gi¶i to¸n ®îc thuËn lîi. Ta h·y xÐt mét bµi to¸n ®iÓn h×nh: