HỌC LỚP 9

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) , vẽ các đường cao AA' , BB' , CC' lần lượt cắt đường tròn ở M, N,P .AA' , BB' và CC' cắt nhau tại H .CMR
a) CM= CN
b)tgiác BHM cân
c) H là tâm đường tròn nội tiếp tgiác NMP.

a) ^BAM=^BCM (góc nội tiếp cùng chắn cung BM) (1)
TGiác: AHC' đồng dạng CHA' (g.g)
=> ^BAM = ^HCB (2)
(1) và (2) => ^HCB = ^BCM
=> CA' vừa là đường cao vừa là phân giác của TGiác HCM
=> TGiác HCM cân tại C
=> CB là trung trực của MH
=> CH = CM (3)
CM Tương tự CH = CN (4)
từ (3) và (4) =>CM = CN
b) B thuộc trung trực của HM (cmt)
=> BH = BM
=> TGiác BHM cân tại B
c) CM = CN => ^MDC= ^CDN (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
=> DC là phân giá của góc MDN
tương tự NB là phân giác của góc DNM
Mà DC cắt NB tại H
=> H là giao điểm 3 đường phân giác của TGiác NMP hay H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác NMP

Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:

a) a^3 + b^3 +c^3 = 3abc và a^4 + b^4 + c^4 = 2 (a^2.b^2 + b^2.c^2 +c^2a^2)

b) a^5.(b^2 + c^2) + b^5.(c^2 + a^2) +c^5 (a^2 + b^2) = (a^3 + b^3 + c^3) (a^4 + b^4 +c^4) / 2

c) tính S = a^4 + b^4 + c^4 +1910 nếu biết thêm a^2 + b^2 +c^2 = 14

a)
A = a³ + b³ +c³ - 3abc
A = (a+b+c).(a²+b²+c² -ab-ac-bc)
a+b+c =0 => A =0 => a³ + b³ + c³ = 3abc

A = (a^4 + b^4 + c^4) -2 (a².b² + b².c² +c².a²)
A = (a² -b²)² + c^4 - (2b².c² +2c².a²)
A = [(a-b).-c]² + c^4 - (2b².c² +2c².a²)
A = c².(a²-2ab + b² + c² - 2b² - 2a²)
A = c².(c² - a²-2ab - b²)
A = c².(c² - (a+b)²) = 0
=> đpcm

b) như trên ta có: (a²b² + a²c² + b²c²) = (a^4 + b^4 +c^4) / 2
=> A = a^5.(b² + c²) + b^5.(c² + a²) +c^5 (a² + b²) - (a³ + b³ + c³).(a²b² + a²c² + b²c²)
=> A = a^5.(b² + c²) + b^5.(c² + a²) +c^5 (a² + b²) - a³.(a²b² + b²c² + a²c²) - b³.(a²b² + a²c² + b²c²) - c³.(a²b² + a²c² + b²c²)
=> A = - a³b²c² -b³a²c² -c³b²a²
=> A = - a²b²c².(a+b+c) = 0
=> đpcm

c)
S = a^4 + b^4 + c^4 +1910
theo phần a) ta có. 2 (a².b² + b².c² +c².a²) = a^4 + b^4 + c^4
=> S = 2 (a².b² + b².c² +c².a²) + 1910
=> 2S = 2 (a².b² + b².c² +c².a²) + a^4 + b^4 + c^4 + 2.1910
=> 2S = (a² + b² + c²)² + 2.1910
=> 2S = 14² + 2.1910
=> S = 2008